Giải bài 7 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình.
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình
\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – t\\
y = t\\
z = – t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t’\\
y = – 1 + t’\\
z = t’
\end{array} \right.\)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa d1 và song song với d2.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a) Hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}’ + t'{a_1}’\\y = {y_0}’ + t'{a_2}’\\z = {z_0}’ + t'{a_3}’\end{array} \right.\)
chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a’} \) không cùng phương (Với \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a’} \) lần lượt là VTCP của \(d_1;d_2\)) và hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + t{a_1} = {x_0}’ + t'{a_1}’\\{y_0} + t{a_2} = {y_0}’ + t'{a_2}’\\{z_0} + t{a_3} = {z_0}’ + t'{a_3}’\end{array} \right.\) vô nghiệm.
b) Mặt phẳng \((α)\) chứa (d1) và song song với d2 thì \((α)\) qua điểm bất kì thuộc \(d_1\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} } \right]\), với \({\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} }\) lần lượt là VTCP của \(d_1;d_2\)
Lời giải chi tiết
a) (d1) đi qua điểm \(M(1; 0; 0)\) và có VTCP \(\overrightarrow {a_1} = (-1; 1; -1)\)
(d2) đi qua điểm \(M'(0; -1; 0)\) và có VTCP \(\overrightarrow {a_2} = (2; 1; 1)\)
Dễ thấy \(\overrightarrow {a_1} \) và \(\overrightarrow {a_2} \) không cùng phương nên d1 và d2 có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1 và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}1 – t = 2t’\\t = – 1 + t’\\- t = t’\end{array} \right.\).
Hệ phương trình trên vô nghiệm, do đó d1 và d2 không cắt nhau.
Vậy d1 và d2 chéo nhau.
b) Mặt phẳng \((α)\) chứa (d1) và song song với d2 thì \((α)\) qua điểm \(M_1(1; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (2; -1; -3)\)
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng:
\(2(x – 1) – (y – 0) – 3(z – 0) = 0 \Leftrightarrow 2x – y – 3z – 2 = 0\)
