Chứng minh:
Bài 82. Chứng minh:
a) \({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\);
b) \(x – {x^2} – 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).
Giải
a) \({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\)
Ta có \({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 = \left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right) + 1\)
=\({\left( {x – y} \right)^2} + 1 > 0\) do \({\left( {x – y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).
b) \(x – {x^2} – 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).
Ta có \(x – {x^2} – 1 = – \left( {{x^2} – x + 1} \right)\)
=\( – \left[ {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\)
= \( – \left[ {{x^2} – 2x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] – {3 \over 4}\)
=\( – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {3 \over 4} < 0\) với mọi \(x\)
do \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \(-{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)
