Giải bài 10 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d.a) Tìm toạ độ giao điểm A của d và (α).
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 2t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).
a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a) Tham số hóa tọa độ điểm A theo tham số \(t\), thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng \(\alpha\), tìm \(t\) và sauy ra tọa độ điểm \(A\).
b) Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A và nhận VTCP của đường thẳng \(d\) là VTPT. Viết phương trình mặt phẳng \(beta\) khi biết một điểm đi qua và VTPT.
Lời giải chi tiết
\(A \in d \Rightarrow A\left( {1 – 2t;2 + t;3 – t} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:
\(2(1 – 2t) + (2 + t) + (3 – t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4} \)
\(\Rightarrow A\left( { – \frac{5}{2};\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)
b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của \((β)\) là:
\( – 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y – {{15} \over 4}} \right) – 1.\left( {z – {5 \over 4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 4x – 2y + 2z + 15 = 0\)
