Giải bài 11 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2).
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a) Mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận vector \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT.
Đường thẳng AD đi qua A và nhận \(\overrightarrow {AD} \) là VTCP, viết phương trình đường thẳng d.
b) Mặt phẳng \(\alpha\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right]\) là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).
Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n = ( – 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).
Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:
\(3(x + 1) – 5(y – 2) – 2(z – 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x – 5y – 2z + 13 = 0\)
Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình chính tắc là:
\({{x + 1} \over 1} = {{y – 2} \over 1} = {z \over { – 2}}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)
Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:
\(\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)
\((α)\) chứa \(AD\) nên chứa điểm \(A(-1; 2; 0)\)
Phương trình của \((α)\) là:
\(5(x + 1) – 9(y – 2) – 2(z – 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x – 9y – 2z + 23 = 0\).
